線形代数例

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

指数を足して $e^{t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

ステップ 2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

ステップ 2.2.1.3

$- t$ と $t$ をたし算します。

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

ステップ 2.2.2

$- e^{0}$ を簡約します。

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - e^{t}$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

ステップ 5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

ステップ 6

$- 1$ を $- e^{t}$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

ステップ 7

$- 1$ を $- 1 (1) - (e^{t})$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

ステップ 9

$- \frac{1}{1 + e^{t}}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

ステップ 10

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 10.1

$e^{- t}$ と $\frac{1}{1 + e^{t}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

ステップ 10.2

$- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

ステップ 10.2.2

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

ステップ 10.3

$- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

ステップ 10.3.2

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

ステップ 10.3.3

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ と $e^{t}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

ステップ 10.4

$- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ を掛けます。

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ステップ 10.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

ステップ 10.4.2

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

ステップ 10.4.3

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ と $e^{t}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$

線形代数 例

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